Thales

I Droite des milieux

1 ) Etude experimentale

2 ) Propriété des milieux :

Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés parallèle au 3ème côté.
La longueur du segment qui joint ces 2 milieux est égale à la moitié de la longueur du 3ème côté.
3 ) Les côtés du triangle AIJ sont proportionels aux côtés du triangle ABC. Le coeficient de proportionalité est égal à 0,5
On écrit :
4 ) Modèle :
K est le milieu de [ RS ]
P est le milieu de [ RT ]
donc, dans le triangle RST, la droite ( KP ) est une droite des milieux
par conséquent, d'après la propriété, les droites ( KP ) et ( ST ) sont parrallèles

II Réciproque des milieux

1 ) La réciproque des milieux

Réciproque : Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un second côté coupe le 3e côté en son milieu.

3 ) Modèle

E est le symetrique de D par rapport à C donc C est le milieu de [ DE ]

ABCD est un parallélogramme donc ( BC ) // ( AD ) et ( FC ) // ( AD )

Dans le triangle EAD, la droite ( CF ) passe par le milieu C de côté [ ED ] et ( CF ) est parallèle à ( AD ) coupe ( AE ) en son milieu : F

Par conséquent, d'après la réciproque des milieux, le point F est le milieu de ( EA )

III Proportionnalité

8

9

10

11

3,2

4

4,8

10

11,25

12,5

13,75

4

5

6

IV Propriété de Thalès

1 ) Experience

On considère un triangle ABC tel que AB : 4cm / AC : 5cm / BC : 6cm

On place le point J sur AC tel que AJ : 4cm. On trace la parallèle ( BC ) qui passe par J. Elle coupe AB en I
Mesure : AI : 3,2 cm / IJ : 4,8 cm
Je constate que je retrouve les nombres du tableau de proportionnalité ci-dessus ( en vert )
Donc les côtés du triangle AIJ sont proportionnels aux côtés du triangle ABC

2 ) Propriété de Thalès

Dans le triangle ABC :
Si le point I est sur le segment [ AB ]
Si le point J est sur le segment [ AC ]
Si les droites ( IJ ) et ( BC ) sont parallèles
Alors les côtés du triangle AIJ sont proportionnels aux côtés du triangle ABC

V Modèles

MR : 26 cm

ME : 10 cm

MS : 3 cm

( IS ) // ( RE )

Calculer MI

Dans le triangle MER : S est un point du segment [ ME ], I est un point du segment [ MR ] et les droites ( SI ) et ( ER ) sont parallèles donc d'après la propriété de Thalès, je peux écrire :

Calcul de MI : Je choisis donc

J' écris le produit en croix : : 10 x MI = 3 x 26 ----> MI = 3 x 26 ÷ 10 = 7,8 cm

2ème Modèle

PS : 9 cm
SR : 9 cm
ST : 13 cm
( ST ) // ( RQ )

Calculer RQ

Dans le triangle PRQ : T est un point du segment [ PQ ], S est un point du segment [ PR ] et les droites ( ST ) et ( RQ ) sont parallèles donc d'après la propriété de Thalès, je peux écrire :

Calcul de RQ : Je choisis donc

J' écris le produit en croix : : 9 x RQ = 13 x 13 et RQ = 13 x 13 ÷ 9 =